THEOREMS ON NORMAL SUBGROUP

Theorem: A subgroup H of a group G is a normal subgroup of G iff ghg^-1 ∈ H for every h ∈ H, g ∈ G.
Proof: Firstly, let H be a normal subgroup of G.
∴               gH = Hg,     ∀ g ∈ G
Let h ∈ H and g ∈ G be any element. Then
                  gh ∈ gH = Hg
⇒              gh ∈ Hg
⇒              gh = h₁g  for some h₁ ∈ H
⇒              ghg^-1 = h₁ ∈ H
⇒              ghg^-1 ∈ H

Conversely: Let H be a subgroup of G, such that
                  ghg^-1 ∈ H,      ∀ h ∈ H, g ∈ G.
We show that H is a normal subgroup
i.e.,            aH = Ha,       ∀ a ∈ G.
Let a ∈ G be any element. Then by given hypothesis
                  aha^-1 ∈ H,      ∀ h ∈ H
Let ah ∈ aH be any element. Then
                  ah = (aha^-1)a ∈ Ha
⇒              ah ∈ Ha
∴              aH ⊆ Ha.                                                                 ... (1)
Again, Let b = a^-1 be any element of G.
Then by given hypothesis bhb^-1 ∈ H.
But            bhb^-1 = a^-1h(a^-1)^-1 = a^-1ha ∈ H.
Let ha ∈ Ha be any element. Then
                  ha = (aa^-1)ha = a (a^-1ha) ∈ aH
⇒              ha ∈ aH
∴              Ha ⊆ aH.                                                                ... (2)
From (1) & (2) we get
                  aH = Ha,      ∀ a ∈ G.
Hence, H is a normal subgroup of G.

Theorem: Let H be a subgroup of G. Then the following statements are equivalent
      (i) ghg^-1 ∈ H,           ∀ h ∈ H, g ∈ G.
     (ii) ghg^-1 = H,           ∀ g ∈ G.
    (iii) gH = Hg,             ∀ g ∈ G.

Proof: (i) ⇒(ii) Since ghg^-1 ∈ H,      ∀ h ∈ H, g ∈ G.
Let ghg^-1 = h₁   for some h₁ ∈ H
⇒       ghg^-1 = H,           ∀ g ∈ G.

(ii) ⇒ (iii) Let ghg^-1 = H,           ∀ g ∈ G.
⇒       (ghg^-1)g = Hg
⇒       gH(gg^-1) = Hg
⇒               gHe = Hg
⇒                 gH = Hg.                                                   (∵ He = H)

(iii) ⇒ (i) Let  gH = Hg,       ∀ g ∈ G.
⇒         gh = h₁g   for some h,h₁ ∈ H
⇒         ghg^-1 = h₁ ∈ H
⇒         ghg^-1 ∈ H,    ∀ h ∈ H, g ∈ G.
Hence (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (i).
Hence the given statements are equivalent.

Theorem: The centre Z(G) of a group G is a normal subgroup of G.
Proof: We know Z(G) = {g ∈ G ; xg = gx   ∀ x ∈ G}.
Clearly          Z(G) ⊆ G.
Since     ex = xe,    ∀ x ∈ G⇒ e ∈ Z(G).
∴  Z(G) is a non-empty subset of G.
Let a, b ∈ Z(G) be any two elements, then
              ax = xa, ∀ x ∈ G            and 
              bx = xb, ∀ x ∈ G 
⇒          xb^-1 = b^-1x
Now      x(ab^-1) = (xa)b^-1 = (ax)b^-1
                                 = a(xb^-1) = a(b^-1x)
                           = (ab^-1)x
⇒          x(ab^-1) = (ab^-1)x      ∀ x ∈ G.
∴          ab^-1 ∈ Z(G)     ∀ a, b ∈ Z(G).
So, Z(G) is a subgroup of G.
Now, we show that Z(G) is a normal subgroup of G.
Let     h ∈ Z(G)        and     g ∈ G , then
              ghg^-1 = (gh)g^-1 = (hg)g^-1 = h(gg^-1)
                        = he = h ∈ Z(G)
∴           ghg^-1 ∈ Z(G),          ∀ g ∈ G,  h ∈ Z(G)
Hence, Z(G) is a normal subgroup of G.