Elementary properties of a Group

Let <G, *> be a group under the operation *. Then G has the following elementary properties.

I. Uniqueness of identity element
           The identity element of a group is unique.

Proof: If possible, suppose that e₁, e₂ are two identity elements of a group .
             ∴ e_1 * e₂ = e₂    (Since e₁ is identity element)         ... (1)
         also e_1 * e₂ = e₁     (Since e₂ is identity element)         ... (2)
       Thus        e₁ = e₂                                         (From (1) and (2))
∴ Thus identity element of a group is unique.

II. Uniqueness of inverse element
           The inverse of each element of a group is unique.

Proof: Let e be the identity element of the group (G, *) and a ∈ G be an arbitrary element.
If possible, let b₁, b₂ ∈ G, be two inverses of a
   ∴   a * b₁ = e = b₁ * a              (∵ b₁ is inverse of a)          ... (1)
  and a * b₂ = e = b₂ * a             (∵ b₂ is inverse of a)         ... (2)
       Now b₁ = b₁ * e                                (Since e is identity of G) 
                     = b₁ * (a * b₂)                                              [∵ of (2)]
                     = (b1 * a) * b2                        (By associativity in G)

                     = e * b2   m                                                   [∵ of (1)]

                     = b2

      ∴       b1 = b2

Here each element of a group has unique inverse.

III. Cancellation laws hold in a group

              For a, b, c ∈ G, we have

              a * b = a * c         ⇒   b = c                                                         (Left cancellation law)

              b * a = c * a         ⇒   b = c                                                        (right cancellation law)

Proof: Let a, b, c ∈ G.

              Since a ∈ G so a^-1∈ G such that

              a^-1 * a = e = a *                                                                                                          ... (1)

              Now suppose that a * b = a * c

              ⇒ a^-1 (a * b) = a^-1 (a * c)

              ⇒ a^-1 (a * b) = a^-1 (a * c)        (By associative law in G)

              ⇒ e * b = e * c

              ⇒ b = c

              ∴ a * b = a * c  ⇒ b = c

              Similarly, we can prove that

                       b * a = c * a  ⇒ b = c

IV. For every a ∈ G, (a^-1)^-1 = a.

Proof: ∀ a ∈ G ⇒ a^-1∈ G.

              then aa^-1 = e = a^-1a

              ⇒ inverse of a is a^-1

              Again a^-1a = e = aa^-1

              ⇒ inverse of a^-1 is a

              i.e., (a^-1)^-1 = a.

V. Reversal law for inverse of the product

            (a * b)^-1 = b^-1 * a^-1  ∀ a, b ∈ G.

Proof: Since a, b ∈ G

              ∴ a * b ∈ G

             ⇒ c ∈ G, where c = a * b                                           ... (1)

             Also b, a ∈ G                 

             ⇒ b^-1 , a^-1 ∈ G

             ⇒ b^-1 * a^-1 ∈ G

             ⇒ d ∈ G  where d = b^-1 * a^-1                                     ... (2)

            Consider c * d = (a * b) * d                                 [∵ of (1)]
                                      = a * (b * d)           (By associativity in G)
                                      = a * (b * (b^-1 * a^-1))                  [∵ of (2)]
                                      = a * ((b * b^-1 ) * a^-1))                                                                                                       (By associativity in G)
                                      = a * (e * a^-1)
                                      = a * a^-1 = e.
            ∴              c * d = e.
            Now consider d * c = (b^-1 * a^-1) * c                   [∵ of (2)]
                                              = b^-1 *(a^-1 * c)                                                                                                            (By associativity in G)
                                              = b^-1 *(a^-1 * (a * b))           [∵ of (2)]
                                              = b^-1 * ((a^-1 * a) * b)                                                                                                 (By associativity in G)
                                              = b^-1 * (e * b)
                                              = b^-1 * b = e
            ∴                      d * c = e
            ∴                     c * d = e = d * c
            ⇒                        c^-1 = d
            ⇒              (a * b)^-1 = b^-1 * a^-1

VI. If a, b ∈ G be any elements. Then the equation a * x = b and y * a = b have unique solution in G.

Proof: We first prove that the equation a * x = b has a solution in G.
             Since a ∈ G, so ∃ a^-1∈ G such that
             a * a^-1 = e = a^-1 * a                                                      ... (1)
             Since a^-1, b ∈ G so a^-1* b ∈ G.
             Take                         x = a^-1* b
                                         ∴  x ∈ G
             Now                   a * x = a * (a^-1* b)
                                                 = (a * a^-1) * b                                                                                                           (By associativity in G)
                                                 = e * b = b
             ∴ the equation a * x = b has a solution in G.

Uniqueness: Let x₁, x₂ be two solutions of the equation a * x = b in G.
                           ∴ a * x₁= b and a * x₂= b
                           ⇒ a * x₁= a * x₂    ⇒ x₁ = x₂                  
                                                     (By left  cancellation law in a group)
Hence the equation a * x = b has a unique solution in G.
Similarly, we can prove that the equation y * a = b has a unique solution in G.

VII. Left identity and right identity are the same in a group.

Proof: Let e and e' be the left identity and right identity in a group (G, *).
              then,
                        e * e' = e'                                                                                                                                    (Here e is the left identity)
              also   e * e' = e                                                                                                                                (Here e' is the right identity)
              Thus e' = e
              Hence left identity and right identity in a group are same.

VII. Left inverse and right inverse of every element in a group is same.

Proof: Let e be the identity of the group (G, *) and b and c be the left and right inverse of the element a ∈ G respectively. Then
                                   b * a = e            and         a * c = e
              Now                   b = b * e
                                            = b * (a * c)
                                            = (b * a) * c
                                            = e * c
                                            = c.
           Hence the left and right inverse of every element in a group is same.