Inverse of a subset of a group

Let H be a subset of a group G, then the inverse of H is 
H^-1 and is defined as 
                        H^-1 = {h^-1 : for all h ∈ H}.

Theorem: If H be a subgroup of a group G, 
then H^-1 = H.

Proof: Let h^-1 ∈ H^-1 be any element, where h ∈ H.
Since H is a subgroup of G.
∴ h^-1 ∈ H
Thus h^-1 ∈ H^-1 ⇒ h^-1 ∈ H
∴ H^-1 ⊆ H.                                                                                ... (1)

Conversely: Let h ∈ H be any element of H
Since H is a subgoup of G
∴ h^-1 ∈ H
⇒ (h^-1)^-1 ∈ H^-1           i.e.,   h ∈ H^-1 
Thus h ∈ H    ⇒  h ∈ H^-1 
∴ H ⊆ H^-1                                                                                                ... (2)
From (1) and (2) we get
H = H^-1

Remark: The converse of the above theorem need not be true.
i.e., If H is a subset of a group G such that H^-1 = H, then H need not be a subgroup of G.

For example: (i)  let G be the group of square roots of unity, i.e., G = {-1, 1} under multiplication, let H = {-1} be a subset of G.
Here H^-1 = {-1} = H, for (-1)^-1 = -1.
But H is not a subgroup of G.

(ii) let H = {12, (23)} be a subset of a group S₃.
Here H^-1 = {12, (23)} = H                      (∵ (12)(12) = i, (23) = i)
But H is not a subgroup of S₃.             (as(12)(23) = (312) ∉ H)

(iii) Let G = {(0, 1, 2, 3, 4, 5), +₆} be a group under addition modulo 6.
Let H = {1, 3, 5} be a subset of G.
Then H^-1 = {1, 3, 5} = H, for
(1)^-1 = 5, (3)^-1 = 3, (5)^-1 = 1, but H is not a subgroup of G as 
3 +₆ 5 = 2 ∉ H.

Theorem: A non-empty subset of H of a group G is a subgroup then HH = H.
Proof: Let h₁h₂ ∈ HH be any element, where h_1, h₂ ∈ H
Since H is a subgroup of G
⇒ h₁h₂ ∈ H
Thus, ∀ h₁h₂ ∈ HH
⇒ h₁h₂ ∈ H
∴ HH ⊆ H.                                                                               ... (1)

Conversely: Let h ∈ H be any element of H.
Now h = he ∈ HH                                                           (∵ e ∈ H)
Thus h ∈ H 
⇒ h ∈ HH
∴ H ⊆ HH                                                                                ... (2)
∴ from (1) and (2), we get,
 HH = H.

Theorem: If H and K be any two subsets of a group G, then
         (HK)^-1 = K^-1H^-1 .
Proof: Let (hk)^-1 be any element of (HK)^-1, 
where h ∈ H, k ∈ K
∴ (hk)^-1 = k^-1h^-1 ∈ K^-1H^-1                  [∵ h^-1 ∈ H^-1 and k^-1 ∈ K^-1 ]
Thus (hk)^-1 ∈ (HK)^-1
⇒(hk)^-1 ∈ K^-1H^-1
∴(HK)^-1 ⊆ K^-1H^-1                                                                                  ... (1)

Conversely: Let k^-1h^-1 ∈ K^-1H^-1 be any element, 
where k ∈ K, h ∈ H.
∴ k^-1h^-1 = (hk)^-1 ∈(HK)^-1
Thus k^-1h^-1 ∈ K^-1H^-1
⇒k^-1h^-1 ∈ (HK)^-1
∴ K^-1H^-1 ⊆ (HK)^-1                                                                         ... (2)
From (1) and (2), we get,
   (HK)^-1 = K^-1H^-1. 
                                                                                  Hence Proved.

Theorem: If H and K are two subgroups of a group G, then HK is a subgroup of G if and only if HK = KH.
Proof: Firstly, let HK = KH.
To show that HK is a subgroup of G.
It is sufficient to show that (HK)(HK)^-1 = (HK)
we have (HK)(HK)^-1 = (K^-1H^-1) = H(KK^-1)H^-1
                                     = (HK)H^-1                    
                                          [∵ K is a subgroup of G.   ∴ KK^-1 = K]
                                     = (KH)H^-1                 [∵ HK = KH given]
                                     = K (HH^-1)
                                     = KH
                                        [∵ H is a subgroup of G.   ∴ HH^-1 = H]
                                    = HK.
Thus HK is a subgroup of G.

Conversely: Suppose HK is a subgroup of G.
To show HK = KH.
Now (HK)^-1 = HK.     [∵ if H is a subgroup of G then H^-1 = H]
⇒ K^-1H^-1 = HK.
⇒ KH = HK.